矩阵核心逆的Sherman-Morrison-Woodbury公式及其应用 [PDF全文]
杨虹1,2, 钟金1, 马柏林2
(1. 江西理工大学理学院,江西 赣州 341000; 2. 嘉兴学院数理与信息工程学院, 浙江 嘉兴 314001)

为了建立矩阵核心逆的Sherman-Morrison-Woodbury公式,文章利用值域与核的包含关系给出了矩阵A-YGZT的核心逆的表达式,推广了经典的Sherman-Morrison-Woodbury公式,并利用所得结果讨论了扰动矩阵A-YGZT的核心逆的非负性。

心逆" target="_blank"> 心逆;值域;;Sherman-Morrison-Woodbury公式;非负性
Sherman-Morrison-Woodbury formula for the core inverse of matrices and its applications
YANG Hong1,2, ZHONG Jin1, MA Bolin2
(1. Faculty of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, Jiangxi, China; 2. School of Mathematics and Information Engineering, Jiaxing University, Jiaxing 314001, Zhejiang, China)

In order to establish the Sherman-Morrison-Woodbury formula for the core inverse, by using the inclusion relationships between the range and kernel, this paper gives expressions for the core inverse of the matrix A-YGZT, which generalizes the classic Sherman-Morrison-Woodbury formula. The nonnegativity of the core inverse of the perturbed matrix A-YGZT was also discussed according to the obtained results.

引言

  20世纪50年代,Sherman,Woodbury, Morrison等[1-4]发现了关于矩阵逆的一个公式,称为Sherman-Morrison-Woodbury公式(以下简称SMW公式)。 令A是一个n阶可逆矩阵,U、V是n×r矩阵,X是r阶可逆矩阵,则矩阵

A+UXV*

可逆当且仅当矩阵

X-1+V*A-1U

可逆。 此时,

(A+UXV*)-1=A-1-A-1U(X-1+V*A-1U)-1V*A-1。 (1)

  式(1)中的矩阵UXV*可以看作初始矩阵A的更新矩阵。 SMW公式是矩阵论中的一个重要公式,在统计学、网络、最优化、偏微分方程、线性方程组、奇异值等领域有广泛应用[5-7]

  由于SMW公式要求矩阵A和A+UXV*均可逆,一个更一般的问题是:当A和A+UXV*不可逆时,各种广义逆的SMW公式成立的条件是什么? 近几十年来,众多学者研究了关于各种广义逆的SMW公式,如Moore-Penrose逆、Drazin逆、广义Drazin逆[8-11],并给出了这些广义逆的SMW公式成立的条件,但对于A-YGZT的非负性并未讨论。 本文将研究矩阵核心逆的SMW公式,不仅给出了矩阵核心逆的SMW公式成立的条件,同时利用所得结论讨论了扰动矩阵A-YGZT的核心逆的非负性。

1 预备知识

  令Cm×n和Rm×n分别表示m×n的复矩阵和实矩阵全体。 对于A∈Cm×n,A*、AT、r(A)、R(A)和Ker(A)分别表示A的共轭转置、转置、秩、值域和核。 对于A∈Cn×n,ρ(A)表示A的谱半径。 若A是一个非负矩阵,则记为A≥0。 矩阵A∈Cn×n的指标,记为Ind(A),是指满足r(Ak)=r(Ak+1)的最小非负整数k,记CCMn 和RCMn 分别是指标为1的复矩阵和实矩阵的全体。

  下面给出一些广义逆的概念。

  定义1[12] 令A∈Cm×n,如果X满足4个方程:

①AXA=A;②XAX=X;

③(AX)*=AX;④(XA)*=XA,

则X称为A的Moore-Penrose逆,记为X=A+

  定义2[12] 令A,X∈Cn×n,如果X满足方程组

①AXA=A; ②XAX=X; ⑤AX=XA,

则称X为A的群逆,且若A的群逆存在,则是唯一的,记为A#。 需要说明的是,并不是所有的方阵都存在群逆,一个奇异方阵A的群逆存在当且仅当A的指标为1,即r(A)=r(A2)。

  定义3[13] 一个矩阵A⊗称为A∈Cn×n的核心逆,如果A⊗满足以下条件:

AA⊗=PA和R(A⊗)⊆R(A),

其中PA表示R(A)上的正交投影。 一个方阵的核心逆存在当且仅当它的指标不超过1,且若存在,则唯一。

  文献[14]给出了定义3的一个等价定义。

  定义4 [14] 若A是一个n阶方阵,则A的核心逆A⊗(若存在)是下面方程组的唯一解:

AXA=A,AX2=X,(AX)*=AX。

文献[13]给出了核心逆与Moore-Penrose逆、群逆之间的关系,即A⊗=A#AA+,关于核心逆的更多结果可查看文献[15-18]。

 

2 核心逆的SMW公式

  本节研究矩阵核心逆的SMW公式,利用矩阵值域与核的包含关系给出SMW公式可以用核心逆表示的条件。

  引理1[12] 令A,P且P2=P,则

  1)PA=A当且仅当R(A)⊆R(P);

  2)AP=A当且仅当Ker(P)⊆Ker(A)。

  下面给出矩阵核心逆的SMW公式的第一类条件。

  定理1 令A∈CCMn ,G∈CCM ,Y,Z∈Cn×m又令B=A-YGZ*,S=G⊗-Z*A⊗Y满足B∈CCMn ,S∈CCMm 。 如果:R(A)⊆R(B),Ker(A*)⊆Ker(B*),Ker(G*)⊆Ker(Y),Ker(S*)⊆Ker(G),

则(A-YGZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(G⊗-Z*A⊗Y)⊗Z*A⊗。

  证明:由于

  R(A⊗)⊆R(A)⊆R(B)⊆R(BB)⊆R(B⊗B),

Ker(AA⊗)=Ker(AA+)=Ker(A*)⊆Ker(B*)=

Ker(B+)⊆Ker(B⊗BB+)=Ker(B⊗),

由引理1可得B⊗BA⊗=A⊗和B⊗AA⊗=B⊗。所以,

B⊗Y+B⊗(B-A)A⊗Y=B⊗Y+A⊗Y-B⊗Y=A⊗Y(2)

此外,由Ker(GG⊗)=Ker(GG+)=Ker(G*)⊆Ker(Y),引理1和式(2)可推出:

B⊗YGG⊗-B⊗YGZ*A⊗Y=B⊗Y-B⊗(A-B)A⊗Y=A⊗Y,

即B⊗YGS=A⊗Y。

  又因为从Ker(S*)⊆Ker(Y)可推出GSS⊗=G,于是

B⊗YG=B⊗YGSS⊗=A⊗YS⊗。

所以,

A⊗=B⊗BA⊗=B⊗(A-YGZ*)A⊗=B⊗AA⊗-B⊗YGZ*A⊗=B⊗-A⊗YS⊗Z*A⊗,

即(A-YGZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(G⊗-Z*A⊗Y)⊗Z*A⊗,证毕。

  如果定理1中的矩阵G和S是非奇异的,则有下面结论。

  推论1 令A∈CCMn ,G∈Cn×n,Y,Z∈Cn×m,其中G是非奇异矩阵。又令B=A-YGZ*,S=G-1-Z*A⊗Y满足B∈CCMn 且S是非奇异的。如果

R(A)⊆R(B),Ker(A*)⊆Ker(B*)

则(A-YGZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(G-1-Z*A⊗Y)-1Z*A⊗。

  进一步的,如果推论1中G是单位矩阵I,则有下面结论。

  推论2 令A∈CCMn ,Y,Z∈Cn×m 又令B=A-YZ*满足B∈CCMn 。 如果

    R(A)⊆R(B),Ker(A*)⊆Ker(B*),

则I-Z*A⊗Y是非奇异的,且(A-YZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(I-Z*A⊗Y)-1Z*A⊗。

  证明:因为R(A)⊆R(B),Ker(A*)⊆Ker(B*)且G=I,由定理1的证明可知

A⊗=B⊗-B⊗YZ*A⊗

A⊗Y=B⊗Y-B⊗YZ*A⊗Y,

或等价的,A⊗Y=B⊗Y(I-Z*A⊗Y)。

  对任意的x∈Ker(I-Z*A⊗Y),有x=Z*A⊗Yx=Z*B⊗Y(I-Z*A⊗Y)x=0,从而可看出矩阵I-Z*A⊗Y是非奇异的。 于是从推论1可直接得到

(A-YZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(I-Z*A⊗Y)-1Z*A⊗ 。

  接下来给出矩阵核心逆的SMW公式的第二类条件。

  定理 2 令A∈CCMn ,G∈CCM ,Y,Z∈Cn×m 。 又令B=A-YGZ*,S=G⊗-Z*A⊗Y满足B∈CCMn ,S∈CCMm 。 如果

Ker(A)⊆Ker(Z*),Ker(S)⊆Ker(Y),Ker(G*)⊆Ker(Y)

R(Y)⊆R(A),R(Z*)⊆R(S),R(Z*)⊆R(G)

则(A-YGZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(G⊗-Z*A⊗Y)⊗Z*A⊗。

  证明:定义X=A⊗+A⊗Y(G⊗-Z*A⊗Y)⊗Z*A⊗。 因为Ker(A)⊆Ker(Z*),Ker(S)⊆Ker(Y)且R(Z*)⊆R(G),由引理1可得Z*A⊗A=Z*,Y(I-S⊗S)=0和(I-G⊗G)Z*=0。于是

XB=(A⊗+A⊗YS⊗Z*A⊗)(A-YGZ*)=

A⊗A-A⊗YGZ*+A⊗YS⊗Z*A⊗A-A⊗YS⊗Z*A⊗YGZ*=

A⊗A-A⊗YGZ*+A⊗YS⊗Z*-A⊗YS⊗(G⊗-S)GZ*=

A⊗A-A⊗Y(I-S⊗S)GZ*+A⊗YS⊗(I-G⊗G)Z*=

A⊗A=

A#A。

  另一方面,若R(Y)⊆R(A),R(Z*)⊆R(S),Ker(G*)⊆Ker(Y)则AA⊗Y=Y,(I-SS⊗)Z*=0和Y(I-GG⊗)=0。所以,

BX=(A-YGZ*)(A⊗+A⊗YS⊗Z*A⊗)=

AA⊗-YGZ*A⊗+AA⊗YS⊗Z*A⊗-YGZ*A⊗YS⊗Z*A⊗=

AA⊗-YGZ⊗A⊗+YS⊗Z*A⊗-YG(G⊗-S)S⊗Z*A⊗=

AA⊗-YG(I-SS⊗)Z*A⊗+Y(I-GG⊗)S⊗Z*A⊗=

AA⊗=

AA+

  从而有(BX)*=(AA+)*=AA+=BX。此外,因为AA+A⊗=A⊗且Ker(A)⊆Ker(Z*),于是

  BX2=AA+X=

AA+(A⊗+A⊗YS⊗Z*A⊗)=

AA+A⊗+AA+A⊗YS⊗Z*A⊗=

A⊗+A⊗YS⊗Z*A⊗=

X

和BXB=BA⊗A=(A-YGZ*)A⊗A=AA⊗A-YGZ*A⊗A=A-YGZ*=B,从而由定义4可得X=B⊗,证毕。

  若定理2中G和S是非奇异的,则可得下面推论。

  推论3 令A∈CCMn ,G∈Cn×m,Y,Z∈Cn×m其中G是可逆的。又令B=A-YGZ*,S=G-1-Z*A⊗Y满足B∈CCMn 且S是可逆的。 如果

  Ker(A)⊆Ker(Z*),且R(Y)⊆R(A),

则(A-YGZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(G-1-Z*A⊗Y)-1Z*A⊗。

  若推论3中G=I,则可得下面推论。

  推论4 令A∈CCMn ,Y,Z∈Cn×m,B=A-YZ*∈

CCMn 。 若I=Z*A⊗Y是非奇异的且

Ker(A)⊆Ker(Z*),且R(Y)⊆R(A),

则(A-YZ*)⊗=A⊗+A⊗Y(I-Z*A⊗Y)-1Z*A⊗。

 

3 扰动矩阵A-YGZT的核心逆的非负性

  本节将研究矩阵核心逆的Sherman-Morrison-Woodbury公式在扰动矩阵A-YGZT的核心逆的非负性中的应用。 为此,本节所涉及的矩阵均为实矩阵。

  定义4 [19] 令A,U,V∈Rm×n 。 若R(A)⊆R(U)且Ker(A)⊆Ker(U),则A=U-V称为A的一个分裂。

  引理2 令A,U∈RCMn 且A=U-V是A的一个分裂,则I-U⊗V可逆且

A⊗=(I-U⊗V)-1U⊗。

  证明:设x∈Rn满足

(I-U⊗V)x=0, (3)

则x=U⊗Vx∈R(U⊗)⊆R(U)=R(A)。 又由式(3)知

U⊗U(I-U⊗V)x=0,

于是可得U⊗Ux-U⊗Vx=0,即U⊗Ax=0。

  由U⊗=U#UU+和R(A)=R(U)可得U#UU+Ax=U#Ax=0,所以

Ax∈Ker(U#)=Ker(U)=Ker(A),

或等价的,x∈Ker(A2)=Ker(A)。

  又因为Ind(A)=1蕴含了R(A)⊕Ker(A)=Rn,所以x∈R(A)∩Ker(A)={0},这就证明了矩阵I-U⊗V是可逆的。

  因为R(A⊗)⊆R(A)=R(U)=R(U⊗U),所以由引理1可得U⊗UA⊗=A⊗。 此外,由Ker(AA⊗)=Ker(AA+)=Ker(AT)=R(A)和引理1可得U+AA⊗=U+,从而有U⊗AA⊗=U#UU+AA⊗=U#UU+=U⊗。 于是,

(I-U⊗V)A⊗=A⊗-U⊗VA⊗=

A⊗-U⊗UA⊗+U⊗AA⊗=

A⊗-A⊗+U⊗= U⊗。

  由于I-U⊗V是可逆的,所以A⊗=(I-U⊗V)-1U⊗。 证毕。

  定理3 令A,U∈RCMn 且A=U-V是A的一个分裂,其中U⊗≥0,U⊗V≥0。 又令B=A-YGZT∈RCMn ,其中G是可逆的非负矩阵,Y,Z∈Rn×m是非负矩阵满足

Ker(A)∈Ker(ZT),R(Y)=R(A)。

  若ρ(U⊗V)<1且ρ(ZTA⊗YG)<1,则B⊗≥0。

  证明:因为U⊗V≥0且ρ(U⊗V)<1,于是。 又因为A=U-V是A的一个分裂且U⊗≥0,从而由引理2可得A⊗=(I-U⊗V)-1U⊗≥0。 同理,由ZTA⊗YG≥0,ρ(ZTA⊗YG)<1可得I-ZTA⊗YG可逆且

  另一方面,由

G-1-ZTA⊗Y=(I-ZTA⊗YG)G-1

可知G-1-ZTA⊗Y可逆,且

  (G-1-ZTA⊗Y)-1=G(I-ZTA⊗YG)-1≥0。

  又因为B= A-YGZT∈RCMn ,其中G是可逆矩阵Y,Z满足Ker(A)∈Ker(ZT)和R(Y)⊆R(A)且G-1-ZTA⊗Y可逆,由推论3可得

(A-YGZT)⊗=A⊗+A⊗Y(G-1-ZTA⊗Y)-1ZTA⊗≥0。

4 数值例子

  例1 令

  则不难验证A=A,从而A的核心逆存在。此外,,从而r(B)=r(B)=1,即B的核心逆也存在,且有R(A)⊆R(B), Ker(A)∈Ker(B)。直接计算可得,且,于是S可逆且

[

从而由推论1可得

5 结 论

  矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式不仅是矩阵论中一个重要的公式,同时在数学其他分支有广泛的应用。本文利用值域与核的包含关系建立了矩阵核心逆的SMW公式成立的两类条件,推广了经典的SMW公式。 由于广义逆的SMW公式会涉及较多的条件限制,如何进一步弱化广义逆的SMW公式成立的条件是值得进一步研究的问题。 此外,本文的研究发现可借助矩阵A-YGZT的核心逆的SMW公式来讨论其非负性,该理论也可用于研究矩阵A-YGZT的其他广义逆的非负性。

参考文献